کمانش خطي وغيرخطي صفحات دایروی/حلقوی گرافن ارتوتروپيک به کمک تي وری الاستيسيته غيرموضعي

پائیز 3131/ سال هفتم/ شماره دوم فصلنامه علمي پژوهشي مهندسي مکانيک جامدات فصلنامه علمي پژوهشي مهندسي مکانيک جامدات www.jsme.ir کمانش خطي وغيرخطي صفحات دایروی/حلقوی گرافن ارتوتروپيک به کمک تي وری الاستيسيته غيرموضعي 2 * 1 مصطفی صادقیان مهرداد جبارزاده * نويسنده مسئول: msadeghian@mshdiau.ac.ir چکيده واژههای کليدی در اين مقاله تحلیل خطی و غیرخطی کمانش صفحات نسبتا ضخیم دايروی/حلقوی گرافن با خواص کمانش صفحه دايروی/حلقوی ارتوتروپیک بر پايه االستیک تحت بار مکانیکی مورد بررسی قرار میگیرد. به کمک تئوری االستیسیته غیرموضعی اصل کار مجازی تئوری مرتبه اول برشی و کرنشهای غیرخطی فون-کارمن روابط حاکم ارتوتروپیک تئوری غیرموضعی االستیسیته روش مربعات ديفرانسیلی برحسب جابجايی ها بدست آمده و از روش مربعات ديفرانسیلی DQ( همراه با توزيع غیريکنواخت نقاط چیبشف-گوس-لوباتو( استفاده شده است. برای اعتبار سنجی نتايج بدست آمده با نتايج کمانش در مراجعديگر مقايسه شده و اثرات ضريب غیرموضعی ضخامت شعاع و پايه االستیک بر بارهای بی بعد کمانش مورد بررسی قرار گرفته است و همچنین نتايج تحلیل به روش تئوری غیر موضعی و موضعی با يکديگر مقايسه شده اند. از نتايج مشاهده میشود که بار بیبعد کمانش صفحات گرافن با کاهش انعطاف پذيری از نظر شرط مرزی با افزايش ضريب غیرموضعی افزايش بیشتری میيابد و همچنین با افزايش شعاع صفحه اختالف نتايج تحلیل غیر موضعی و موضعی بیشتر میشود. 1- دانشجوی کارشناسی ارشد دانشکده مکانیک دانشگاه آزاد اسالمی مشهد 2 -استاديار دانشکده مکانیک دانشگاه آزاد اسالمی مشهد

و 8 2 کمانش خطي وغيرخطي صفحات دایروی/حلقوی گرافن ارتوتروپيک به کمک تي وری الاستيسيته غيرموضعي 1- مقدمه با توسعه روزافزون علم و فناوری مواد و ساختارهايی با خواص برتر و پیشرفته مورد نیاز است. فناوری نانو[ 1 ] به مواد و ساختارها در مقیاس نانو میپردازد و صفحات گرافن زير شاخه ای از اين ريز ساختارها است که در ساخت باطریها[ 2 ] حسگرهای بیولوژيکی و شیمیايی[ 3 ] سلول- های خورشیدی[ 4 ] و غیره کاربرد دارد. صفحات گرافنیک اليه ای از دسته کربن هستند که در يک ساختار شش ضلعیالنه زنبوری( قرار گرفتهاند و در واقع برای اولین بار به عنوان يک کريستال دو بعدی مطرح و نخستین بار در سال 2004 تولید شدند[ 5 ]. گرافن از نظر تئوری به دلیل داشتن يک سطح خاص بزرگ تحرک پذيری ذاتی باال مدول يانگ و هدايت حرارتی باال در سالهای اخیر توجه بسیاری از محققین را به خود جلب کرده است[ 6 ]. مشاهدات تجربی ]7[ يکی از شیوههای مدلسازی ساختارهای نانو هستند که به دلیل پر هزينه بودن آن از روش های ديگری نظیر: مدلسازی اتمی مکانیک محیط پیوسته اتمی هیبريد و مکانیک محیط های پیوسته استفاده می شود. مدلسازی اتمی شامل روش هايی مانند دينامیک ملکولی 3 کالسیک دينامیک مولکولی اتصال سفت و تئوری تابعی 4 چگالی است[ 9]. مکانیک محیط پیوسته اتمی هیبريد اين امکان را میدهد تا پتانسیل درون اتمی را در تحلیل محیط پیوسته با برابر قرار دادن انرژی پتانسیل ساختار مواد نانو با انرژی کرنش مکانیکی المان حجمی مدل محیط پیوسته بدست آيد[ 10 ]. مدلسازی به روش محیطهای پیوسته به مراتب نسبت به دو روش قبل کم هزينه تر بوده و شامل تئوریهای کالسیکموضعی( تئوری االستیسته غیرموضعی ارينگن[ 11 ] تئوری االستیسیته گراديان کرنشی 6 5 اصالح شده [12] و تئوری تنش کوپل اصالح شده [13] است که برای ساختارهای نانو در سیستمهايی با مقیاس بزرگ استفاده میشوند[ 14 ]. به اين دلیل از مدلسازی به روش محیط پیوسته به عنوان راهی در تحلیل ساختارهايی نظیر کمانش می توان استفاده کرد. در اين بین تئوری االستیسته غیرموضعی ارينگن دارای روابط حاکم نسبتا ساده تری است و اثر مقیاس کوچک در ساختارهايی با مقیاس نانو و میکرو را محاسبه میکند. تحقیقات گسترده ای در زمینه صفحات نانو بر اساس تئوری غیرموضعی ارينگن صورت گرفته است. از جمله اين محققین می توان به پرادهان و همکاران[ 15 ] اشاره کرد که کمانش ورقهای مستطیلی تک اليه گرافن را با استفاده از روش DQبررسی کرده و نشان دادند که ضريب غیرموضعی تاثیر بسزايی بر روی صفحات گرافن دارد و باعث کاهش بارهای کمانش بر آن ها می شود. سماعی و همکاران[ 16 ] پاسخ کمانشی صفحات گرافن مستطیلی ايزوتروپیک تحت بارگذاری يکنواخت را به صورت تحلیلی ارائه کردند و در آن برای مدل سازی صفحات گرافن نسبتا ضخیم از تئوری مرتبه اول برشی میندلین استفاده نمودند. آن ها در مقاله خود رفتار کمانشی نانو ورق مستطیلی بر روی بستر پسترناک را با استفاده از مدل غیرموضعی صفحه میندلین به صورت تحلیلی مورد بررسی قرار دادند. فرج پور و همکاران[ 17 ] کمانش صفحات گرافن با ضخامت متغیر را بررسی نموده و نشان دادند رفتار کمانش صفحه گرافن تک اليه بشدت به ضريب غیرموضعی وابسته است. نارندر و گوپالکريشنن[ 18 ] به تحلیل دمای کمانش بحرانی در نانو لولههای تک اليه براساس مدل تیر تیموشنکو پرداخته و مشاهده کردند که اثرات ضريب غیرموضعی و ضريب پايه وينکلر دو جزء مهم در تحلیل کمانش حرارتی صفحات 5 Modified Strain Gradient Elasticity 6 Modified Couple Stress Theory 3 tight-binding molecular dynamics 4 density functional theory

1 فصلنامه علمي پژوهشي مهندسي مکانيک جامدات/پائيز 3131 /سال هفتم/ شماره دوم گرافن هستند. در تحقیق ديگری لیم و همکاران [19] به بررسی کمانش حرارتی نانو میله ها پرداختند. آن ها در تحلیل خويش از تئوری غیرموضعی ارينگن برای بررسی نانو میلهها و نانو لولهها و نانو تیرها پرداخته و تاثیر تغییرات بارهای کمانش در ابتدا به صورت غیرخطی سپس به صورت خطی کاهش میيابند. در زمینه کمانش صفحات دايروی گرافن تحت بارهای مکانیکی درون صفحه ای کارهای اندکی ارائه شده است دما بر کمانش بحرانی را ارزيابی کردند. فرج پور و که از جمله آن ها فرج پور و همکاران[ 26 ] که هستند همکاران[ 20 ] کمانش ورق های مستطیلی با خواص ارتوتروپیک را با استفاده از روش DQ ارائه کردند. تجزيه و تحلیل کمانش متقارن ورق های دايروی گرافن تحت بارگذاری يکنواخت شعاعی به کمک تئوری کالسیک را تحلیل ارتعاشات حرارتی گرافن تک اليه مستطیل شکل ارائه کردند. همچنین در پژوهش راوری و شهیدی[ 27 ] از تعبیه شده در محیط االستیک پلیمر با استفاده از تئوری روش تفاضل محدود برای کمانش نانوورق های دايروی االستیسیته غیرموضعی توسط پرسنا کومار و همکاران[ 21 ] مورد مطالعه قرار گرفت که آنها در تحلیل خود از روش ناوير استفاده کردند. امام [22] مدلی برای تحیل کمانش و حلقوی به کمک تئوری کالسیک استفاده شده است. بدرود و همکاران[ 28 ] در پژوهش خود کمانش متقارن و غیرمتقارن نانو ورق های نازک با بهره گیری از تئوری پس کمانش نانوتیرها ارائه نمود که برای تئوری های مرتبه اول برشی غیرموضعی ارينگن همراه با کرنش های گوناگون نظیر تئوری مرتبه اول برش و مراتب باالتر و کالسیک مناسب است. محمدی و همکاران[ 23 ] به تحلیل رفتار کمانشی صفحات ارتوتروپیک مستطیلی تک اليه نانو خطی بررسی کردند. آنها اثرات پارامترهای هندسی نانو ورق شرايط تکیه گاهی و پارامترهای غیر موضعی بر روی رفتار کمانشی نانو ورق دايروی و حلقوی را ارزيابی کردند. در محیط حرارتی بر پايه االستیک به کمک روش DQ در پژوهش حاضر تحلیل کمانش مکانیکی صفحات بررسی کرد. آن-ها در تحقیق خود شرط مرزی مختلف را بررسی کردند و نشان دادند که بارهای کمانش صفحات گرافن به ضريب غیرموضعی وابسته است. سرامی و ازهری[ 24 ] به تحلیل ارتعاشات و کمانش صفحات 7 مستطیلی به روش نوار محدود پرداختند و صفحه گرافن را با خاصیت ايزوتروپیک و ارتوتروپیک برای شرايط تکیه گاهی مختلف بررسی نمودند. گلمکانی و رضاطلب[ 25 ]کمانش صفحات ارتوتروپیک مستطیلی تحت بارهای غیريکنواخت را با استفاده از تئوری مرتبه اول برشی و به کمک روش مربعات ديفرانسیلی DQ ( بررسی نمودند. در مقاله آن ها تمام لبه های صفحه گرافن تحت بار متغیر خطی فرض شد و مشاهده کردند که با افزايش ضريب غیرموضعی نسبتا ضخیم دايرهای گرافن همراه با خصوصیات ارتوتروپیک وکرنشهای غیرخطی بررسی می شود. اثرات مقیاس کوچک به کمک تئوری االستیسیته غیرموضعی ارينگن اعمال شده است. معادالت تعادل از روش انرژی محاسبه و برای حل آنها از روش عددی مربعات ديفرانسیلی استفاده شده است. 2- روابط حاکم شکل 1( يک صفحه گرافن دايرهای و شکل 2 مدل پیوسته آن را نشان میدهد. جابجايی ها بر اساس تئوری مرتبه اول برشی به صورت رابطه 1( هستند[ 29 ]: u(r,θ,z= v(r,θ,z= 0 w(r,θ,z= 1( 7finite strip

4 کمانش خطي وغيرخطي صفحات دایروی/حلقوی گرافن ارتوتروپيک به کمک تي وری الاستيسيته غيرموضعي ( + که در آن و به ترتیب مولفههای جابجايی هر نقطه دلخواهی در فاصله از صفحه میانی به ترتیب در جهات و میباشند.همچنین و مولفههای جابجايی صفحه میانی ورق بوده که خود تابعی از متغیر میباشند و عبارت چرخش المان حول محور هستند. در تئوری مکانیک پیوسته موضعی تنش در يک نقطه به کرنش در همان نقطه وابسته است اما ارينگن نشان داد در تئوری مکانیک پیوسته غیرموضعی تنش در يک نقطه به کرنش در تمام محیط پیوسته وابسته است] 11 [.معادله حاکم درتئوری مکانیک پیوسته غیرموضعی توسط ارينگن به صورت زير ارائه شده است] 11 [ : 3( دررابطه فوق ضريب غیرموضعی بوده و الپالسین توسط رابطه 4( تعريف میشود: شکل 1( صفحه گرافن دايروی تحت بار N + + 4( که تانسورتنش غیرموضعی و تانسورتنش موضعی است که به صورت رابطه 5( بیان میشود: 5( دراين تحقیق صفحه گرافن به صورت ورق ارتوتروپیک درنظر گرفته شده که ماتريس سختی بوده و از رابطه 6( تعیین میشود [ 6( شکل 2 ( حلقه دايروی تحت بارگذاری ] بنابراين باترکیب معادالت 3 ( و 5( روابط تنش-کرنش از: عبارتاند { } { } 7( { } [ ] شکل 3( مدل سه بعدی محیط پیوسته حلقه دايروی بر پايه االستیک با استفاده از فرضیات فون کارمن برای روابط غیرخطی کرنش- جابجايی مولفههای کرنش بر حسب جابجايی به صورت رابطه 2( بدست میآيند[ 29 ]: و مدول االستیسیته در جهات 1 و 2 و و ضريب پواسون در جهات مذکور و مدول برشی هستند. نتیجههای تنش به صورت زير تعريف میشوند ]11[ : + + +z 2(

5 فصلنامه علمي پژوهشي مهندسي مکانيک جامدات/پائيز 3131 /سال هفتم/ شماره دوم که ضريب پايه االستیک است. با استفاده از معادالت فوق روابط تعادل بر حسب منتجههای تنش غیرموضعی به صورت رابطه 15( حاصل میشوند: 15( 8( 9( 16( 17( ضخامت صفحه گرافن است. برای تعیین معادالت تعادل از اصل حداقل انرژی پتانسیل استفاده میشود: U 10( که انرژی پتانسیل کل سیستم Uانرژی کرنشی سیستم و انرژی پتانسیل بارهای خارجی است. طبق اين اصل وقتی سیستمی در حال تعادل است تغییرات انرژی پتانسیل آن سیستم صفر است: U 0 11( مقادير تغییرات انرژی کرنشی سیستم [28] و انرژی پتانسیل بارهای خارجی به صورت روابط 12( و 13( تعیین میشوند: به کمک رابطه 3( معادالت تعادل بر حسب منتجههای تنش موضعی از روابط 18( تا 19( بدست میآيند: 18( 19( 20( نتیجههای تنش موضعی به کمک روابط 2( 4( و 5( بر حسب جابجايیها به صورت: ( ( 21( ( 12( + + ( 13( انرژی پتانسیل پايه االستیک به صورت رابطه 14( است[ 30 : [ هستند که ضرايب اين معادالت عبارتند از : 22( به کمک روابط 21( و 22( معادالت تعادل بر اساس 14( جابجايیها به صورت روابط 22( تا 24( بدست میآيند:

6 کمانش خطي وغيرخطي صفحات دایروی/حلقوی گرافن ارتوتروپيک به کمک تي وری الاستيسيته غيرموضعي در نتیجه به دلیل آن که در حالت پیش کمانش تغییر شکل عمودی وجود ندارد ( صورت روابط 28( تا 30( بدست میآيد: 28( 29( 30( 31( با حل معادالت پیش کمانش نتیجه میشود: معادالت پیش کمانش به هچنین معادالت پايداری به صورت روابط 32( تا 34( بدست میآيند: 32( 33( ( ( ( ( ( ( ( 23( 24( 25( 34( ( ( ( در اينجا برای تحلیل کمانش از روش تعادل همسايگی استفاده میشود. در اين روش معادله تعادل را میتوان از تغییر بسیار کوچک در نزديکی حالت تعادل به دست آورد. بدين منظور نتیجههای جابجايی نیرو و گشتاور به صورت زير در نظر گرفته میشوند: برای بی بعدسازی معادالت پايداری رابطه 34( تعريف میشوند:, 35( معادالت بیبعد پايداری بر حسب جابجايیها از 26( 27( که در اين روابط باالنويس مربوط به حالت پیش کمانش روابط 36 ( تا 38( بدست میآيند: و باالنويس ناشی از تغییر بسیار ناچیز در حالت پايداری است.

7 فصلنامه علمي پژوهشي مهندسي مکانيک جامدات/پائيز 3131 /سال هفتم/ شماره دوم 42( در رابطه فوق تعداد گرهها در راستای شعاع است. ضرايب وزنی برای مشتقهای باالتر به صورت رابطه [ ] 43( هستند: 43( توزيع نقاط شبکه براساس نقاط چبیشف-گوس-لوباتو به صورت زير است : a i ri 1 cos 2 N 1 i 0,1,..., N 44( شرايط مرزی که دراين مقاله مورد بررسی قرارگرفته به صورت تکیهگاه گیردار و ساده در نظر گرفته شدهاند : ( ( ( ( ( 36( 37( 38( { 45( { 46( ( ( ( 4- بحث و نتيجه گيری برای تعیین نتايج عددی صفحه ارتوتروپیک تک اليه ضخامت صفحه دايرهای توپر با شعاع االستیسیته مدول در نظر ضرايب پواسون و گرفته شده است. در ابتدا برای بررسی دقت نتايج از عبارتهای غیرخطی صرف نظر شده و تغییرات بارهای بی بعد کمانش بر اساس مختلف به ترتیب برای شرايط مرزی ضرايب غیرموضعی تکیهگاهی گیردار و ساده با مرجع [ 28 ]مقايسه و در جدول 1( ارائه شده است که تطابق خوبی را نشان میدهد. 3- روش مربعات دیفرانسيلي در روش مربعات ديفرانسیلی مشتق يک تابع به صورت جمع جبری مقادير گره ای در طول دامنه نوشته میشود که به صورت رابطه 39( بیان می شود ]31[ : n df dr n N C j 1 ( n ij F r j 39( به طوری که اول به صورت زير بدست میآيد: 40( ضريب وزنی بوده و برای مشتق مرتبه 41( و هنگامی است داريم:

بار بی بعد کمانش بار بی بعد کمانش Rs 8 کمانش خطي وغيرخطي صفحات دایروی/حلقوی گرافن ارتوتروپيک به کمک تي وری الاستيسيته غيرموضعي تکیه گاه ساده تحقیق حاضر( جدول 1( مقايسه بار بی بعد کمانش تحقیق حاضر با مرجع[ 28 ] تکیه گاه ساده[ 82 ] بار بی بعد کمانش تکیه گاه گیردارتحقیق حاضر( تکیه گاه گیردار[ 82 ] μ 0 41/ 6 41/ 892 1/ 484 1/ 484 0/8 44/ 004 44 3/ 684 3/ 684 4 2/ 7 2/ 692 3/ 48 3/ 419 4/8 7/ 43 7/ 489 8/ 683 8/ 688 8 6/ 899 6/ 899 8/ 41 8/ 41 8/8 8/ 7 8/ 692 4/ 894 4/ 894 3 8/ 444 8/ 444 4/ 44 4/ 44 3/8 1/ 6 1/ 897 0/ 648 0/ 6449 1 1/ 348 1/ 344 0/ 86 0/ 86 به دلیل آن که نتايج روش عددی مربعات ديفرانسیلی به تعداد گرهها وابسته است نتايج عددی همگرايی تحقیق حاضر به صورت شکل 4( میباشد. مطابق شکل از تعداد گرههای 9 به بعد همگرايی مطلوب حاصل میشود همچنین تاثیر افزايش ضريب غیرموضعی با کاهش انعطاف پذيری شرايط تکیهگاهی افزايش میيابد. تکیه گاه گیردار تکیه گاه ساده شکل 5( تغییرات بارهای بیبعد کمانش به ضريب های غیر موضعی =0( برای مقايسه بارهای بیبعد کمانش در حالت غیرخطی به خطی متغیر Rsبه صورت زير تعريف میشود: بار بی بعد کمانش غیرخطی بار بی بعد کمانش خطی 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 μ شکل 6( نسبت تغییرات بارهای بیبعد کمانش در حالت 15 غیرخطی به خطی را به ضريب های غیرموضعی در شرايط بدون پايه االستیک برای شرايط تکیهگاهیگیردار و ساده را نشان میدهد. مشاهده میشود که تاثیر تحلیل غیرخطی بر تکیهگاه گیر دار بیشتر بوده و با افزايش ضريب غیرموضعی نتايج دو تحلیل از يکديگر فاصله میگیرند. 14.5 14 13.5 13 12.5 12 DQM 6 8 10 12 14 16 18 1.4 1.3 شکل 4( بررسی همگرايی بار بیبعد کمانش بر حسب تعداد گره ها در شکل 5( تغییرات بارهای بیبعد کمانش خطی و غیرخطی به ضريبهای غیرموضعی گوناگون در شرايط بدون 1.2 پايه االستیک برای شرايط تکیهگاهی گیردار و ساده نشان داده شده است. مالحظه میشود که در شرايط تکیهگاهی گیردار تغییرات بارهای بیبعد کمانش خطی و غیرخطی به صورت غیرخطی تغییر میکنند اما در شرايط مرزی تکیهگاه ساده با شیب نسبتا ثابتی کاهش میيابد. شکل 6 (تغییرات بارهای بیبعد کمانش به ضريب های غیر موضعی مختلف درشرايطتکیهگاهیگیردار و ساده 0= 1.1 1 0 1 2 3 4 μ

Rm بار بی بعد کمانش 3 فصلنامه علمي پژوهشي مهندسي مکانيک جامدات/پائيز 3131 /سال هفتم/ شماره دوم در شکل 7( تغییرات بارهای بیبعد کمانش به ضريب- های غیرموضعی برای ضرايب پايه االستیک گوناگون مختلف ترسیم شده است. مشاهده میشود با افزايش سختی پايه االستیک بار بیبعد کمانش افزايش يافته وتاثیر افزايش سختی پايه االستیک بر تکیه گاه گیردار بیشتر از مفصلی است همچنین در تکیه گاه ساده شیب تغییرات به صورت غیرخطی بوده اما در تکیهگاه ساده تغییرات به صورت شیب نسبتا ثابت است. شکل 7( تغییرات بارهای بیبعد کمانش به ضريب های غیرموضعی برای ضرايب پايه االستیک گوناگون شکل 8( تغییرات بارهای بیبعد کمانش به شعاع بیبعد برای ضريبهای غیرموضعی گوناگون نشان داده شده است. مالحظه میشود که در شعاع های کوچک در حدود 0/1( تقريبا بار بی بعد ثابت مانده و سپس با شیب نسبتا زياد بار بی بعد کمانش افزايش می يابد. شکل 8 (تغییرات بارهای بیبعد کمانش به شعاع بیبعد ( برای ضريبهای غیرموضعی مختلف درشرايطتکیهگاهیگیردار 0= برای بررسی اختالف تئوری موضعی و غیرموضعی متغیرRmبه صورت زير تعريف میشود: بار بی بعد کمانش غیرموضعی بار بی بعد کمانش موضعی در شکل 9( نسبت تغییرات بارهای بیبعد کمانش در حالت غیرموضعی به موضعی در μ=1.2n برای شعاعهای مختلف ترسیم شده است. مشاهده میشود که افزايش شعاع اختالف نتايج تحلیل کمانش به کمک تئوری های غیرموضعی بیشتر میشود. شکل 9 (تغییرات Rmبه شعاعهای بیبعد موضعی و در شکل 10( تغییرات بارهای بیبعد کمانش به ضخامت بیبعد برای ضريبهای مختلف پايه االستیک برای شرايط تکیهگاهی گیردار و ساده نشان داده شده است. با توجه به شکل با افزايش ضخامت بار بیبعد کمانش افزايش يافته و همچنین در يک ضخامت معین با االستیک بار بیبعد کمانش کاهش می يابد. کاهش سختی پايه شکل 10( تغییرات بارهای بیبعد کمانش به ضخامت برای ضرايب پايه االستیک گوناگون در شرايط تکیهگاهی گیردار وساده 1.1 1.09 1.08 1.07 1.06 1.05 1.04 1.03 1.02 1.01 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 8 7 6 5 4 3 2 1 μ=2 (nm^2 μ=1 (nm^2 k =1.5 k =1 k =0.5 k =1.5 k =1 k =0.5 : : 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 ض ا بی بعد 25 20 15 10 5 0 k =1.5 k =1 k =0.5 k =1.5 k =1 k =0.5 تکیه گاه گیردار 0 1 2 3 4 μ 60 50 40 μ=0 (nm^2 μ=1 (nm^2 μ=2 (nm^2 μ=3 (nm^2 μ=4 (nm^2 30 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

بار بی بعد کمانش 31 کمانش خطي وغيرخطي صفحات دایروی/حلقوی گرافن ارتوتروپيک به کمک تي وری الاستيسيته غيرموضعي - با کاهش انعطافپذيری شرايط مرزی تاثیر افزايش در شکل 11( تغییرات بارهای بیبعد کمانش برای صفحه حلقوی با فرض ثابت بودن شعاع داخلی( به ضريب- ضريب غیرموضعی بر تحلیل غیرخطی افزايش می يابد. لذا غیرموضعی برای های شعاعهای بیبعد گوناگون درشرايط تاثیرافزايش ضريب غیرموضعی بر تحلیل غیرخطی گیردار بیشتر از مفصلی می باشد. - با افزايش شعاع صفحه تاثیر ضريب غیرموضعی بر بار بی بعد کمانش افزايش می يابد و اختالف نتايج تحلیل غیرموضعی و موضعی بیشتر میشود. فهرست عالئم تکیهگاهی گیردار نشان داده شده است. همانطور که مشاهده میشود در حالت موضعی نتايج بار کمانش در شعاعهای بی- بعد گوناگون مختلف هستند اما با افزايش ضريب غیرموضعی تاثیر نسبت ابعادی کاهش يافته و نتايج بار بی بعد کمانش در هر نسبت شعاعی به سمت عدد ثابت میل می کند. u E شکل 11 ( تغییرات بارهای بیبعد کمانش به ضريب های غیرموضعی در شعاعهای بیبعد مختلف برای صفحه حلقويدرشرايط تکیهگاهی گیردار =0( 5- نتيجهگيری در اين تحقیق تحلیل خطی و غیر خطی کمانش صفحات دايروی/حلقوی گرافن به کمک تئوری االستیسیته تعداد کل گره ها جابه جايی در جهت ضخامت( nm جابه جايی در جهت محیطی( nm جابه جايی در جهت شعاعی( nm سفتی بستر االستیک( kn/m شعاع صفحه( nm ضخامت ورق( m مدول االستیسیته( ( نسبت بار غیرموضعی به موضعی نسبت بار کمانش غیرخطی به خطی 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 r=0.4 r=0.3 r=0.2 r=0.1 ضر 0 1 2 3 4 یر ضعی μ( غیرموضعی تحلیل شده است. از مهمترين نتايج می توان به موارد زير اشاره کرد: - با کاهش انعطافپذيری شکل از نظر شرط مرزی تاثیر افزايش ضريب غیرموضعی بر بار بی بعد کمانش بیشتر است. -افزايش ضريب غیر موضعی موجب کاهش نیروی بی بعد کمانش میشود. -با افزايش ضخامت تاثیر ضريب غیرموضعی و اثر ضريب پايه االستیک بر بار بیبعد کمانش کاهش میيابد. مراجع: [1] Taniguchi N., On the Basic Concept of Nanotechnolog, Proceedings of the International Conference of Production Engineering, London, 1974, pp.18-23. [2] Ma M., Tu J.P., Yuan Y.F., Wang X.L., Li K.F., Mao F., Zeng Z.Y., Electrochemical Performance of ZnO Nanoplates as Anode Materials for Ni/Zn Secondary Batteries, Journal of Power Source, Vol. 179, 2008, pp. 395-400. [3] J. Yguerabide, E. E. Yguerabide, Resonance Light Scattering Particles as Ultrasensitive Labels for Detection of Analytes in a wide Range of Applications, Journal of Cellular Biochemistry-Supplement, 37, 2001, pp.71-81.

33 فصلنامه علمي پژوهشي مهندسي مکانيک جامدات/پائيز 3131 /سال هفتم/ شماره دوم [17] Farajpour A., Danesh M., Mohammadi M., Buckling analysis of variable thickness nanoplates using nonlocal continuum mechanics, Physica E., Vol. 44, 2011, pp.719 727. [18] Narendar S., Gopalakrishnan S., Critical buckling temperature of single-walled carbon nanotubes embedded in a one-parameter elastic medium based on nonlocal continuum mechanics, Physica E., Vol. 43, 2011, pp. 1185 1191. [19] Lim C.W., Yang Q., Zhang J.B., Thermal buckling of nanorod based on non-local elasticity theory, International Journal of Non-Linear Mechanics, Vol. 47, 2012, pp. 496-505. [20] Farajpour A., Shahidi A.R., Mohammadi M., Mohzoon M., Buckling of Orthotropic Micro/Nanoscale Plates under Linearly varying in-plane load via nonlocal continuum mechanics, Composite Structures, Vol. 94, 2012, pp. 1605-1615. [21] Prasanna Kumar T.J., Narendar S., Gopalakrishnan S., Thermal vibration analysis of monolayer graphene embedded in elastic medium based on nonlocal continuum mechanics. Composite Structures, Vol. 100, 2013, pp. 332 342. [22] Emam S.A., A general nonlocal nonlinear model for buckling of nanobeams, Applied Mathematical Modelling, Vol. 37, 2013, pp. 6929 6939. [23] Mohammadi M., Farajpour A., Moradi A., Ghayour M., Shear buckling of orthotropic rectangular graphene sheet embedded in an elastic medium in thermal environment, Composites: Part B, Vol. 56, 2014, pp. 629 637. [24] Sarrami-Foroushani S., Azhari M., Nonlocal vibration and buckling analysis of single and multi-layered graphene sheets using finite strip method including van der Waals effects, Physica E., Vol. 57, 2014, pp. 83 95. [25] Golmakania M.E., Rezatalaba J., Nonuniform biaxial buckling of orthotropic nanoplates embedded in an elastic medium based on nonlocal Mindlin plate theory, Composite Structures, Vol. 119, 2015, pp. 238 250. [26] Farajpour A., Mohammadi M., Shahidi A.R., Mahzoon M., Axisymmetric Buckling of the Circular Graphene Sheets with the Nonlocal continuum plate model, Physica E., Vol. 43, 2011, pp. 1820 1825. [4] Agesen M., Sorensen C.B., Nanoplates and Their Suitability for Use as Solar Cells, Proceeding of Clean Technology, Boston Secondary Batteries, Journal of Power Source, Vol. 179, 2008, pp. 395-400. [5] Novoselov K.S., Geim A.K., Morozov S.V., Jiang D., Zhang Y., Dubonos S.V., Grigorieva I.V., Firsov A.A., Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films, Science, vol. 306, 2004, pp. 666 669. [6] Xu Z.P., Buehler M.J., Geometry controls conformation of graphene sheets: membranes, ribbons, and scrolls, ACS-Nano, Vol. 4, 2010, pp. 3869 3876. [7] Chiu H.Y., Hung P., Postma H.W.Ch., Bockrath M., Atomic-Scale Mass Sensing Using Carbon Nanotube Resonators, Nano Letters, Vol.8, 2008, pp. 4342 4346. [8] Hernandez E., Goze C., Bernier P., Rubio A., Elastic Properties of C and BxCyNz Composite Nanotubes, Physics Review Letters, Vol. 80, 1998, pp. 4502 4505. [9] Li C.Y., Chou T.W., Elastic wave velocities in single-walled carbon nanotubes, Physics Review B, Vol. 73, 2006, pp. 245-407. [10] Li C., Chou T.W., Single-walled carbon nanotubes as ultrahigh frequency nanomechanical resonators, Physics Review B, Vol. 68, 2003, pp. 073405. [11] Eringen A.C., Nonlocal Continuum Field Theories, Newyork, Springer-Verlag. [12] Fleck N.A., Hutchinson J.W., Strain Gradient Plasticity, Advance applied mechanics, Vol. 33, 2002, pp. 295-361. [13]F. Yang, A.C.M. Chong, D.C.C. Lam, P. Tong, Couple Stress Based Strain Gradient Theory for Elasticity, International journal of solid structs, 39, 2002, pp. 2731-2743. [14] Parnes R., Chiskis A., Buckling of nano-fibre reinforced composites: a re-examination of elastic buckling, Journal of Mechanics and Physics of Solids, Vol. 50, 2002, pp. 855 879. [15] Pradhan S.C., Murmu T., Small Scale Effect onthe Buckling of Single-Layered Graphene Sheetsunder Biaxial Compression via Nonlocal Continuum Mechanics, Computational Materials Science, Vol. 47, 2009, pp. 268-274. [16] Samaei A.T., Abbasion S., Mirsayar M.M., Buckling Analysis of a Single-Layer Graphene Sheet Embedded in an Elastic Medium Based on Nonlocal Mindlin Plate Theory, Mechanics Research Communications, Vol. 38, 2011, pp.481-485.

32 کمانش خطي وغيرخطي صفحات دایروی/حلقوی گرافن ارتوتروپيک به کمک تي وری الاستيسيته غيرموضعي [27] KaramoozRavari M.R., Shahidi A.R., Axisymmetric buckling of the circularannular nanoplates using finite difference method, Mechanica, Vol. 48, 2013, pp. 135 144. [28] Bedroud M., Hosseini-Hashemi S., Nazemnezhad R., Buckling of circular/annular Mindlinnanoplates via nonlocal lasticity, Acta Mechanics, Vol. 224, 2013, pp. 2663-2676. [29] Nosier A., Fallah F., Non-linear Analysis of Functionally Graded Circular Plates under Asymmetric Transverse Loading, International journal of non-linear mechanics, Vol. 44, 2009, pp. 928-942. [30] Naderi A., Saidi A.R., Exact solution for stability analysis of moderately thick functionally graded, Composite Structures, Vol. 93, 2011, pp. 629 638. [31] Shu C., Differential Quadrature and Its Application in Engineering, Berlin, Springer.